10.25559/SITITO.14.201803.533-541
Budkina, E.M.
http://orcid.org/0000-0002-0787-0426
Moscow Aviation Institute (National Research University)
Kuznetsov, E.B.
http://orcid.org/0000-0002-9452-6577
Moscow Aviation Institute (National Research University)
Tarkhov, D.A.
http://orcid.org/0000-0002-9431-8241
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University
Gomzina, A.A.
http://orcid.org/0000-0001-5448-0159
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University
Maltsev, S.D.
http://orcid.org/0000-0003-4798-1136
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University
Сравнение решений жёсткой задачи на сфере многослойным методом и методом продолжения по наилучшему параметру
Comparison of solving a stiff equation on a sphere by the multi-layer method and method of continuing at the best parameter
Международный научный журнал “Современные информационные технологии и ИТ-образование”
2018
Сфера
жёсткая задача
многослойный метод
наилучший параметр
сингулярно возмущенное уравнение
Sphere
stiff equation
multi-layer method
best parameter singularly perturbed equation
ru
2018-09-30
Journal Article
http://sitito.cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/415
2411-1473
Жёсткие задачи, связанные с решением сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений при применении стандартных методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений часто приводят к существенным трудностям. Первой трудностью является потеря устойчивости вычислительного процесса, когда небольшие ошибки на отдельных шагах приводят к неконтролируемому росту погрешности вычислений в целом. Другая трудности, непосредственно связанная с первой, состоит в необходимости сильно уменьшать шаг интегрирования, что приводит к сильному замедлению вычислительного процесса. На примере одной жёсткой краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка на сфере проводится сравнение наших двух подходов к построению приближённых решений. Первый подход связан с построением приближённого многослойного решения задачи и основан на применении рекуррентных равенств, вытекающих из классических численных методов к интервалу переменной длины. В результате численное приближённое решение заменяется приближённым решением в виде функции, которую удобнее использовать для адаптации, построения графиков и других целей. Второй подход связан с продолжением решений по наилучшему параметру. Данный подход позволяет существенно сократить число шагов и повысить устойчивость вычислительного процесса по сравнению со стандартными методами.
A stiff equation, linked with the solution of singularly perturbed differential equations with the use of standard methods of numeral solutions of simple differential equations often lead to major difficulties. First difficulty is the loss of stability of the counting process, when small errors on separate steps lead to an increase in the systematic errors in general. Another difficulty is, directly linked with the first one, consists of the need of decreasing the integrating step by a lot, which leads to a major decrease in the time taken for the calculations. On an example of a boundary value problem for a differential equation of second power on a sphere, comparison of our two approaches of constructing approximate values are held. The first approach is connected with the construction of an approximate multi-layer solution of the problem and is based on the use of recurrent equalities, that come out from classical numeral methods to the interval of a non-constant length. As a result, a numeral, approximated solution is replaced with an approximate solution in form of a function, which is easier to use for adaptation, building a graph and other needs. The second approach is linked with the continuation of the solutions by the best parameter. This method allows us to decrease majorly the number of steps and increase the stability of the computing process compared to standard methods.
№3 (2019)